Proportionnalité : Activité d’introduction
La proportionnalité
I. Reconnaître une situation de proportionnalité
Définition
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.
Exemple
Un litre de carburant coûte 1,80 €. Le prix est proportionnel au volume acheté.
| Volume (en L) | 5 | 20 | 40 |
| Prix (en €) | 9 | 36 | 72 |
On multiplie toujours par 1,8, donc le coefficient de proportionnalité est 1,8.
Propriété
Un tableau est un tableau de proportionnalité si et seulement si les quotients (valeur de la 2ᵉ ligne) ÷ (valeur de la 1ʳᵉ ligne) sont tous égaux.
Méthode : reconnaître un tableau de proportionnalité
On calcule les quotients colonne par colonne.
| Âge (en années) | 2 | 6 | 10 |
| Taille (en cm) | 90 | 115 | 140 |
90 ÷ 2 = 45 et 115 ÷ 6 ≈ 19,2. Les quotients sont différents : ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
À retenir : une grandeur qui augmente n’est pas forcément proportionnelle à l’autre. Un seul quotient différent suffit pour prouver que ce n’est pas proportionnel.
II. Calculer dans une situation de proportionnalité
Propriétés de linéarité
Dans un tableau de proportionnalité :
- Linéarité additive : si on additionne deux colonnes, on obtient une nouvelle colonne.
- Linéarité multiplicative : si on multiplie ou divise une colonne par un nombre, on obtient une nouvelle colonne.
| Volume (en L) | 5 | 20 | 25 | 45 |
| Prix (en €) | 9 | 36 | 45 | 81 |
Par exemple : 25 = 5 + 20, donc 9 + 36 = 45 ; et 45 = 5 × 9, donc 9 × 9 = 81.
Méthodes pour calculer une quatrième valeur (la 4ème proportionnelle ou le produit en croix)
On sait que 4 m de tissu coûtent 18 €. Quel est le prix de 10 m ?
Méthode 1 – Avec le coefficient. 18 ÷ 4 = 4,5 € par mètre, donc 10 × 4,5 = 45 €.
Méthode 2 – Avec la linéarité. 10 m = 4 m + 4 m + 2 m, et 2 m est la moitié de 4 m, donc 18 + 18 + 9 = 45 €.
Méthode 3 – Avec le produit en croix.
| Longueur (en m) | 4 | 10 |
| Prix (en €) | 18 | ? |
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : 4 × ? = 10 × 18, donc ? = (10 × 18) ÷ 4 = 45 €.
À retenir : chaque méthode donne le même résultat. On choisit la plus simple selon les nombres.
III. Représentation graphique
Propriété
Si deux grandeurs sont proportionnelles, les points qui les représentent dans un repère sont alignés avec l’origine du repère. Réciproquement, si les points sont alignés avec l’origine, la situation est une situation de proportionnalité.
Exemple
Pour le carburant, les points (5 ; 9), (20 ; 36), (40 ; 72) et l’origine (0 ; 0) sont sur une même droite.
Pour l’abonnement à 15 € d’inscription plus 10 € par mois, les points (1 ; 25), (2 ; 35), (3 ; 45) sont alignés entre eux, mais la droite ne passe pas par l’origine : ce n’est pas une situation de proportionnalité.
IV. Quelques applications
1. Les pourcentages
Prendre un pourcentage d’une quantité, c’est appliquer une situation de proportionnalité : prendre t % d’une quantité, c’est la multiplier par t ÷ 100.
Exemple : 15 % de 60 € = 0,15 × 60 = 9 €. Une réduction de 15 % sur un article à 60 € fait donc payer 60 − 9 = 51 €.
2. La vitesse constante
Si un mobile se déplace à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée. Le coefficient est la vitesse : distance = vitesse × durée.
Exemple : un train parcourt 180 km en 1 h 30, soit 1,5 h. Sa vitesse est 180 ÷ 1,5 = 120 km/h.
3. Les échelles
Sur une carte à l’échelle 1/50 000, les longueurs réelles sont 50 000 fois plus grandes que sur la carte.
Exemple : 4 cm sur la carte représentent 4 × 50 000 = 200 000 cm = 2 km dans la réalité.
V. Exercices d’entraînement
Exercice 1. Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? Justifie.
| a) Nombre de billets | 2 | 5 | 9 |
| Prix (en €) | 11 | 27,50 | 49,50 |
| b) Nombre de jours | 1 | 3 | 5 |
| Prix de la location (en €) | 30 | 70 | 110 |
Exercice 2. Complète ce tableau de proportionnalité en utilisant deux méthodes différentes.
| Masse de farine (en kg) | 3 | 6 | 9 | 2 | 15 |
| Prix (en €) | 4,50 |
Exercice 3. 12 croissants coûtent 14,40 €.
a) Quel est le prix de 20 croissants ?
b) Combien de croissants peut-on acheter avec 36 € ?
Exercice 4. Calcule : 25 % de 240 ; puis le prix d’un article de 80 € après une réduction de 30 %.
Exercice 5. Une voiture parcourt 150 km en 2 h à vitesse constante.
a) Quelle est sa vitesse ?
b) Quelle distance parcourt-elle en 5 h ?
c) Combien de temps lui faut-il pour parcourir 300 km ?
VI. Je sais faire
- Reconnaître un tableau de proportionnalité en calculant les quotients.
- Calculer un coefficient de proportionnalité.
- Compléter un tableau de proportionnalité par plusieurs méthodes.
- Représenter graphiquement une situation et reconnaître la proportionnalité.
- Utiliser la proportionnalité pour les pourcentages, la vitesse et les échelles.