1-Utiliser l’égalité de Pythagore

Fiche (Leçon) : Utiliser l’égalité de Pythagore

1-Utiliser la racine carée

Définition de la racine carré

Le nombre positif qui, élevé au carré, donne le nombre a s’appelle la racine carrée de a. On le note √ .

Exemple : Il y a deux nombres qui, élevés au carré, donnent 25 : ce sont 5 et -5
car 5² = 25 et (-5)² = 25. √ 25 est le nombre positif, c’est-à-dire 5.

Règles

Pour tout nombre positif a, on a √ a² = a et ( √ a)²=a

Définition d’un carré parfait

Un carré parfait est le carré d’un nombre entier.

Exemple : Voici la liste des 15 premiers carrés parfaits :
1²=1 ; 2²=4 ; 3²=9 ; 4²=16 ; 5²=25 ; 6²=36 ; 7²=49 ; 8²=64 ; 9²=81 ; 10²=100 ; 11²=121 ; 12²=144 ; 13²= 169 ; 14²=196 ; 15²=225.

2-Enoncé du théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le plus grand côté est appelé  hypoténuse.​

C’est le côté opposé à l’angle droit.​

Théorème de Pythagore (le sens direct)​

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.

​Si ABC rectangle en B       alors      BA² + BC² = AC²​

3-Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore

Exemple 1: (calcul de longueur de l’hypothénuse)

 

Solution

Le triangle MNP est rectangle en M. 

D’après le théorème de Pythagore, on a NP² = MP² + MN² 

NP² = 3² + 7²​

NP² = 9 + 49 = 58

Donc NP = √ 58 ≈ 7, 6 cm (valeur arrondie au dixième du centimètre)

Exemple 2:  (calcul de longueur d’un côté de l’angle droit)

Solution

Le triangle ABC est rectangle en A, dD’après le théorème de Pythagore, on a ​ :

BC² = AB² + AC²   

AC² = BC² – AB²​

AC² = 5² – 3²​

AC² = 25 – 9 = 16

AC = √ 16 = 4 cm

4-Démontrer qu’un triangle est rectangle avec le théorème de Pythagore

Quand on connait les 3 longueurs des côtés d’un triangle,​ on peut savoir s’il est rectangle ou non.​

Réciproque et autre formulation du théorème de Pythagore

Soit un triangle ABC dans lequel [AB] est le plus grand côté.

Si AB² = AC²+ BC² alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est rectangle en C .

Si AB² ≠ AC²+ BC² alors l’égalité de Pythaogore n’est pas vérifiée et par conséquent ce triangle n’est pas rectangle.

Exemple 1:

Le triangle EFG est tel que EF = 3 cm,​ EG = 3,5 cm et FG = 4,5 cm. ​
Le triangle EFG est-il rectangle ?

Solution :

Dans le triangle EFG, [FG] est le plus grand côté.

FG² = 4,5² = 20,25​ EF² + EG² = 3² + 3,5²​ = 9 + 12,25 = 21,25

FG² ≠ EF² + EG² (l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée)  donc le triangle EFG n’est pas rectangle.

Exemple 2:

AIB est un triangle tel que AI = 2,4cm,​ IB = 4cm et AB = 3,2cm.​
Démontrer que le triangle AIB est rectangle.

Solution

Dans le triangle AIB, [BI] est le plus grand côté.​

    BI² = 4² = 16​ AB² + AI² = 3,2² + 2,4²​ = 10,24 + 5,76 = 16​

On remarque que BI² = AB² + AI²      donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore,​ le triangle AIB est rectangle en A.​

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