Méthode : La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle ou non.

Quand on connait les 3 longueurs des côtés d’un triangle,​ on peut savoir s’il est rectangle ou non.​

Soit un triangle ABC dans lequel [AB] est le plus grand côté.

Si AB² = AC²+ BC² alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore ce triangle est rectangle en C .

Si AB² ≠ AC²+ BC² alors l’égalité de Pythaogore n’est pas vérifiée et par conséquent ce triangle n’est pas rectangle.

Exemple 1:

Le triangle EFG est tel que EF = 3 cm,​ EG = 3,5 cm et FG = 4,5 cm. ​
Le triangle EFG est-il rectangle ?

Solution :

Dans le triangle EFG, [FG] est le plus grand côté.

FG² = 4,5² = 20,25​ EF² + EG² = 3² + 3,5²​ = 9 + 12,25 = 21,25

FG² ≠ EF² + EG² (l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée)  donc le triangle EFG n’est pas rectangle.

Exemple 2:

AIB est un triangle tel que AI = 2,4cm,​ IB = 4cm et AB = 3,2cm.​
Démontrer que le triangle AIB est rectangle.

Solution

Dans le triangle AIB, [BI] est le plus grand côté.​

    BI² = 4² = 16​ AB² + AI² = 3,2² + 2,4²​ = 10,24 + 5,76 = 16​

On remarque que BI² = AB² + AI²      donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore,​ le triangle AIB est rectangle en A.​

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